Найдите площадь треугольника, если известно, что радиус вписанной окружности равен 1, а длины всех трех высот выражаются целыми числами.

Из условия следует что треугольник правильный !  Доказательство :  так как площадь треугольника можно выразить через высоты как   [latex]S=\frac{ah}{2}\\ S=\frac{bh}{2}\\ S=\frac{ch}{2}[/latex]  где [latex]a;b;c[/latex] стороны  треугольника , с другой стороны  [latex]S=p*r\\ r=1\\ S=p[/latex] следовательно  [latex]\frac{ah}{2}=\frac{a+b+c}{2}\\ \frac{bh}{2}=\frac{a+b+c}{2}\\ \frac{ch}{2}=\frac{a+b+c}{2}\\ a=b=c[/latex] а площадь правильного треугольника равна   [latex]S=3\sqrt{3}r^2\\ S=3\sqrt{3}[/latex]

Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам: т.к. r=1 S=3√3·r²=3√3,  а все высоты выражаются ОДНИМ целым числом h= 3