Найдите среднюю линию трапеции ABCD с боковыми сторонами AB=CD=5, если окружность, имеющая центр в точке O и диаметр, равный 3, касается прямых, содержащих AD, BC и CD, а площадь треугольника ABO равна 20,25.

1.Пусть MN - средняя линяя, M лежит на АB, N - на CD. Ясно, что точка О лежит на MN, так как она равноудалена от AD и BC; 2.Пусть ОК перпендикулярно АВ. Ясно, что ОК = 2*20,25/5 = 8,1; 3.Пусть ОР перпендикулярно CD. Ясно, что ОР = r = d/2 = 1,5 (радиус окружности); 4.Пусть СН - высота трапеции ABCD к AD. Ясно, что СН = d = 3; Вот, теперь можно приступить к решению :) Треугольник CHD - прямоугольный с катетом CH = 3 и гипотенузой CD = 5, то есть это "египетский" треугольник, что очень упрощает расчеты. Ясно, что HD = 4; (в решении это не пригодится). В прямоугольном треугольнике PON угол PON равен углу HCD, поскольку ON перпендикулярно CH и OP перпендикулярно CD, поэтому треугольник PON подобен CHD, то есть это тоже "египетский" треугольник, и ON/PO = CD/CH = 5/3; ясно, что ON = 5*1,5/3 = 2,5; В прямоугольном треугольнике KOM угол KOM равен углу PON,просто потому, что трапеция ABCD равнобедренная и углы при основаниях у неё равны (можно так же провести высоту из В на AD и увидеть равенство угла KOM и угла между высотой и AB, а этот угол очевидно равен углу CHD - это тупой угол при малом основании МИНУС 90 градусов, и угол CHD - тоже). Поэтому треугольник KOM тоже подобен CHD, то есть это тоже "египетский" треугольник, и MO/OK = CD/CH = 5/3; ясно, что ON = 5*8,1/3 = 13,5; Средняя линяя MN = MO + ON = 13,5 + 2,5 = 16.