Найдите углы треугольника, если известно, что медиана и высота, выходящие из вершины одного из его углов, делят этот угол на три равные части. В ответе укажите отношение величин максимального угла к минимальному.

Если  все  эти углы равны [latex]a[/latex]  ,то получим что два остальных угла равны    [latex] 90-a; 90-2a[/latex]   Получаем соотношение  [latex] \frac{BM}{sina } = \frac{AM}{cos2a}\\ \frac{BM}{sin2a} = \frac{AM}{cosa} \\ sin4a=sin2a \\ a=30а[/latex]  то есть углы равны  [latex]90а;30а;60а\\ [/latex]  [latex] \frac{90а}{30а}=3[/latex]      

Еще проще есть решение, практически устное и в 2 действия. Под боковой стороной я понимаю те две стороны, которые выходят из той же вершины, что и высота, и медиана. Основание - это третья сторона треугольника. 1) В треугольнике, ограниченном меньшей боковой стороной и медианой, высота является биссектрисой, поэтому это равнобедренный треугольник. Поэтому отрезок между высотой и медианой равен половине половины основания :) 2) в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, большей боковой стороной и частью основания, медиана исходного треугольника тоже является биссектрисой. И, как показано в пункте 1), она делит катет этого прямоугольного треугольника на отрезки в отношении 1/2, считая от вершины прямого угла. То есть по свойству биссектрисы высота относится к большей боковой стороне, как 1/2; То есть получился прямоугольный треугольник с углом в 30°; 3) само собой, отсюда получается, что угол исходного треугольника, из которого выходят высота и медиана, равен 90°, а третий угол 60°. Уф... написать всё это намного сложнее, чем сообразить :)