Найдите все натуральные числа n , при каждом из которых число [latex]1000^{n}+1002^{n}[/latex] делится нацело на 1001 . В ответе укажите наибольшее такое число, не превосходящее 1000

Воспользуемся методом сравнений остатков , я буду обозначать как  [latex]mod(a)[/latex] то есть очевидно что [latex]1000^n[/latex] в любой степени сравнима с [latex]1000^n=-1 \ mod(1001)[/latex] тогда как [latex]1002^n=1 \ mod(1001)[/latex] то есть теперь уже рассмотрим степени эти чисел . Допустим [latex]n=2k[/latex] тогда  [latex](-1)^{2k}+1^{2k}=2[/latex] на не интересует  тогда как при нечетных очевидно что [latex]1-1=0[/latex] , то есть при каждом нечетной степени будет делится , а наибольшее будет равна n=999