Найдите все пары натуральных чисел х,у таких, что 2х+1 делится на у и 2у+1 делится на х

Из  условия делимости n и k целые числа. 2x+1=yk 2y+1=xn  Очевидна нечетность 2x+1  и 2y+1 откуда  n,k,x,y  нечетные числа Выразим: x=(yk-1)/2 4y+2=2xn=(yk-1)n 4y+2=ykn-n 2+n=y(kn-4) Из  симетрии  задачи: 2+k=x(nk-4) Откуда  2+n  делится на nk-4 и 2+k  делится на nk-4 При k>7 n>7  2+n1 2+n< kn-4 Что  невозможно тк меньшее   число не делится на большее. То возможно только  n=1 k=7 2+n=kn-4 то y=2+n/kn-4=1 Подставим: 2+1=xn=x  x=3 (3;1)  решение. в  силу симетрии (1;3)  решение k=5 при  n=1 2+n=3 kn-4=1       y=3  1+6=nx x=7   (3;7) решение 2)k=3   при n>3 2+n0 3)Cамый  замудренный  вариант. k=1   n+2 должно  делится на  n-4  y=n+2/n-4=  n-4+6/n-4=1+6/n-4 то  есть n-4=1   n-4=2   n-4=3 n-4=6 То  есть возможны варианты: n=5 y=7  n=6  y=4  n=7 y=3    n=10 x=2 НО  тк n<7 (при  n=7  это  и есть  вариант (1;3)) то возможны 1  два варианта Подставим; n=5 y=7 2*7+1=5x 15=5x x=3  (7;3)   (3;7) решение n=6  y=4 9=6x  Невозможно Ответ: (1;3),(3;1),(1;1),(7;3),(3;7)

Решение, построенное на другой идее. Начнем с глупого утверждения. Глупое утверждение. x и y взаимно просты. Доказательство. Пусть x и y делятся на d > 1. Но тогда 2x + 1 должно делиться на d, а на самом деле дает остаток 1. Теперь можно перемножить сравнения, получим, что (2x + 1)(2y + 1) делится на xy. 4xy + 2(x + y) + 1 делится на xy 2(x + y) + 1 делится на xy Из последнего следует, что 2(x + y) + 1 >= xy xy - 2x - 2y <= 1 (x - 2)(y - 2) <= 5 Пусть для определенности x >= y. Тогда достаточно рассмотреть такие случаи: 1) y = 1. Тогда 3 делится на x, откуда x = 1 или x = 3. 2) y = 2. Тогда 5 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 5. Проверка показывает, что это не решение: 11 не делится на 2. 3) y = 3. Тогда 7 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 7. Проверка показывает, что это решение: 15 делится на 3. 4) y >= 4. Тогда x - 2 <= 5/2, т.е. x <= 4. Последнее невозможно в силу ограничений на x. Ответ. (1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 7), (7, 3).