Найдите все целочисленные решения уравнений

[latex]16x^2+8xy-3y^2+19=0[/latex] Выделим полный квадрат: [latex](4x)^2+2\cdot 4x\cdot y+y^2-y^2-3y^2+19=0 \\\ ((4x)^2+2\cdot 4x\cdot y+y^2)-4y^2+19=0 \\\ (4x+y)^2-(2y)^2+19=0[/latex] Применяем формулу разности квадратов: [latex](4x+y-2y)(4x+y+2y)+19=0 \\\ (4x-y)(4x+3y)+19=0 \\\ (4x-y)(4x+3y)=-19[/latex] В итоге получаем, что произведение двух чисел равно -19. Так как 19 простое число, а сами множители должны быть целыми, то нужно рассмотреть всего четыре варианта: множителями могут быть числа: 19 и (-1) (-19) и 1 1 и (-19) (-1) и 19 1.  [latex]\left\{\begin{array}{l} 4x-y=19 \\ 4x+3y=-1 \end{array}[/latex] От первого уравнения отнимаем второе: [latex]-y-3y=19-(-1) \\\ -4y=20 \\\ \Rightarrow y=-5\in Z \\ 4x-(-5)=19 \\\ 4x=14 \\\ \Rightarrow x=3.5\notin Z[/latex]  - не удовлетворяет условию целочисленности 2. [latex]\left\{\begin{array}{l} 4x-y=-19 \\ 4x+3y=1 \end{array}[/latex] [latex]-y-3y=-19-1 \\\ -4y=-20 \\\ \Rightarrow y=5 \\\ 4x-5=-19 \\\ 4x=-14 \\\ \Rightarrow x=-3.5[/latex]  - не удовлетворяет условию 3. [latex]\left\{\begin{array}{l} 4x-y=1 \\ 4x+3y=-19 \end{array}[/latex] [latex]-y-3y=1-(-19) \\\ -4y=20 \\\ \Rightarrow y=-5 \\\ 4x-(-5)=1 \\\ 4x=-4 \\\ \Rightarrow x=-1[/latex] (-1; -5) - решение 4. [latex]\left\{\begin{array}{l} 4x-y=-1 \\ 4x+3y=19 \end{array}[/latex] [latex]-y-3y=-1-19 \\\ -4y=-20 \\\ \Rightarrow y=5 \\\ 4x-5=-1 \\\ 4x=4 \\\ \Rightarrow x=1[/latex] (1; 5) - решение Ответ: (-1; -5) и (1; 5)