Найти частное решение дифференциального уравнения:[latex] y = \psi (x) \ ; \ \ \ \psi (x=0) = -1 \ ; [/latex][latex] y'_x = \psi'_x (x) = f'_x (y) \ ; [/latex][latex] | f'_x (y) | = \sqrt{ 17 - y^2 } \ ; [/latex]В ответе записа...

Возведём всё в квадрат: [latex] f'^2_x (y) = 17 - y^2 \ ; [/latex] [latex] f'^2_x (y) + y^2 = 17 \ ; [/latex] Очевидное решение: [latex] y = \psi (x) = \sqrt{17} \sin{ ( x - \varphi_o ) } \ , [/latex] поскольку: [latex] y^2 = 17 \sin^2{ ( x - \varphi_o ) } \ , [/latex] [latex] f'_x (y(x)) = y'_x (x) = \psi'_x (x) = \sqrt{17} \cos{ ( x - \varphi_o ) } \ , [/latex] [latex] f'^2_x (y(x)) = 17 \cos^2{ ( x - \varphi_o ) } \ , [/latex] а стало быть, действительно:    [latex] f'^2_x (y) + y^2 = 17 \ ; [/latex] Найдём    [latex] \varphi_o \ . [/latex] [latex] \psi (x=0) = \sqrt{17} \sin{ ( 0 - \varphi_o ) } = -1 \ ; [/latex] [latex] \sin{ \varphi_o } = \frac{1}{ \sqrt{17} } \ ; [/latex] [latex] \cos{ \varphi_o } = \sqrt{ 1 - ( \frac{1}{ \sqrt{17} } )^2 } = \sqrt{ 1 - \frac{1}{17} } = \sqrt{ \frac{16}{17} } = \frac{4}{ \sqrt{17} } \ ; [/latex] [latex] \cos{ \varphi_o } = \frac{4}{ \sqrt{17} } \ ; [/latex] [latex] tg{ \varphi_o } = \frac{ \sin{ \varphi_o } }{ \cos{ \varphi_o } } = \frac{1}{4} \ ; [/latex] [latex] \varphi_o = arctg{ \frac{1}{4} } \ ; [/latex] [latex] y = \psi (x) = \sqrt{17} \sin{ ( x - \varphi_o ) } = \sqrt{17} ( \sin{x} \cos{ \varphi_o } - \sin{ \varphi_o } \cos{x} ) = \\\\ = \sqrt{17} ( \frac{4}{ \sqrt{17} } \sin{x} - \frac{1}{ \sqrt{17} } \cos{x} ) = 4 \sin{x} - \cos{x} \ ; [/latex] [latex] y = \psi (x) = 4 \sin{x} - \cos{x} \ ; [/latex] [latex] y'_x = \psi'_x (x) = 4 \cos{x} + \sin{x} \ ; [/latex] [latex] \left\{\begin{array}{l} \cos{ ( x - \varphi_o ) } \geq 0 \ ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f'_x (y(x)) = \sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ , \\ \cos{ ( x - \varphi_o ) } < 0 \ ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f'_x (y(x)) = -\sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ ; \end{array}\right [/latex] [latex] \left\{\begin{array}{l} x - \varphi_o \in [ -\frac{ \pi }{2} + 2 \pi n ; \frac{ \pi }{2} + 2 \pi n ] \ , n \in Z \ ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f'_x (y(x)) = \sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ , \\ x - \varphi_o \in ( \frac{ \pi }{2} + 2 \pi n ; \frac{3}{2} \pi + 2 \pi n ) \ , n \in Z ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f'_x (y(x)) = -\sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ ; \end{array}\right [/latex] [latex] \left\{\begin{array}{l} x \in [ -\frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ; \frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ] \ , n \in Z \ ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f'_x (y(x)) = \sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ , \\ x \in ( \frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ; \frac{3}{2} \pi + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ) \ , n \in Z ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f'_x (y(x)) = -\sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ ; \end{array}\right [/latex] [latex] f'_x (y,x) = \left\{\begin{array}{l} x \in [ -\frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ; \frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ] \ , n \in Z \ ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ = \sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ , \\ x \in ( \frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ; \frac{3}{2} \pi + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ) \ , n \in Z \ ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ = -\sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ ; \end{array}\right \ [/latex] О т в е т : [latex] y = \psi (x) = 4 \sin{x} - \cos{x} \ ; [/latex] [latex] y'_x = \psi'_x (x) = 4 \cos{x} + \sin{x} \ ; [/latex] [latex] y'_x = f'_x ( y ) = \xi \cdot \sqrt{ 17 - y^2 } \ , [/latex]    или: [latex] y'_x = f'_x ( \ 4 \sin{x} - \cos{x} \ ) = \xi \cdot \sqrt{ 17 - ( 4 \sin{x} - \cos{x} )^2 } \ , [/latex]    где: [latex] \xi = \left\{\begin{array}{l} x \in [ \ -\frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n \ ; \ \frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n \ ] \ , n \in Z \ ; \ \Rightarrow \ \ = 1 \ , \\\\ x \in ( \ \frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n \ ; \ \frac{3}{2} \pi + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n \ ) \ , n \in Z \ ; \ \Rightarrow \ \ = -1 \ ; \end{array}\right \ [/latex] или короче:    [latex] \xi = sign( \cos{ ( x - arctg{ \frac{1}{4} } ) } ) \ . [/latex]