Найти частные производные до 3 порядка включительно от [latex]z= \sqrt{2xy+y^2} [/latex]

[latex]z'_{x}=\frac{1}{2\sqrt{2xy+y^2}}*2y=\frac{y}{\sqrt{2xy+y^2}} \\ z'_y=\frac{1}{2\sqrt{2xy+y^2}}*(2x+2y)= \frac{x+y}{\sqrt{2xy+y^2}}\\ z'_{xy}=z'_{yx}=\frac{\sqrt{2xy+y^2}- y*\frac{1}{2\sqrt{2xy+y^2}}*(2x+2y)}{2xy+y^2}=\\ =\frac{\sqrt{2xy+y^2}- \frac{xy+y^2}{\sqrt{2xy+y^2}}}{2xy+y^2}=\frac{2xy+y^2 - xy+y^2}{(2xy+y^2)*\sqrt{2xy+y^2}} = \\ =\frac{2x+y - x+ y}{(2x+y)*\sqrt{2xy+y^2}} = \frac{x+2y}{(2x+y)*\sqrt{2xy+y^2}}\\[/latex] [latex]z'_{x^2}=(y(2xy-y^2)^{-\frac1 2})'=-\frac y 2 (2xy+y^2)^{-\frac{3}{2}}\\ z'_{y^2}=\frac{\sqrt{2xy+y^2}-\frac{1}{2\sqrt{2xy+y^2}}2y(x+y)}{2xy+y^2}= \frac{\sqrt{2xy+y^2}-\frac{y(x+y)}{\sqrt{2xy+y^2}}}{2xy+y^2}[/latex] [latex]z'_{x^3}=\frac{3}{2}2y^2(2xy+y^2)^{-\frac{5}{2}}*2y=6y^3(2xy+y^2)^{-\frac{5}{2}}\\ z'_{y^3}=\frac{(2x+2y-1)(2xy+y^2)^{\frac 3 2} - (2xy+y^2-x-y)*\frac{3}{2}(2xy+y^2)^{\frac 1 2}(2x+2y)}{(2xy+y^2)^3}[/latex] [latex]z'_{x^2y}=\frac{1*(2x+y)*\sqrt{2xy+y^2}-(x+2y)(2*\sqrt{2xy+y^2}+(2x+y)\frac{2y}{2\sqrt{2xy+y^2}})}{(2x+y)^2(2xy+y^2)}=\\ \frac{(2x+y)*\sqrt{2xy+y^2}-(x+2y)(2*\sqrt{2xy+y^2}+(2x+y)\frac{y}{\sqrt{2xy+y^2}})}{(2x+y)^2(2xy+y^2)}\\ z'_{xy^2}= \frac{2*(2x+y)*\sqrt{2xy+y^2}-(x+2y)(2*\sqrt{2xy+y^2}+(2x+y)\frac{2y}{2\sqrt{2xy+y^2}})}{(2x+y)^2(2xy+y^2)}=\\ \frac{2(2x+y)*\sqrt{2xy+y^2}-(x+2y)(2*\sqrt{2xy+y^2}+(2x+y)\frac{y}{\sqrt{2xy+y^2}})}{(2x+y)^2(2xy+y^2)}[/latex]