Найти частные решения дифференциальных уравнений второго порядка y"-2y'-8y=0, если y=4, y'=10, x=0

Сделаем замену(подстановку Эйлера) [latex]y=e^{kx}[/latex], то есть: [latex]\displaystyle \frac{d^2(e^{kx})}{dx^2} -2\cdot \frac{d(e^{kx})}{dx} -8\cdot e^{kx}=0\\ \\ k^2e^{kx}-2ke^{kx}-8e^{kx}=0\\ e^{kx}(k^2-2k-8)=0[/latex] [latex]k^2-2k-8=0[/latex] - характеристическое уравнение. По т. Виета: [latex]k_1=-2;\\ k_2=4[/latex] [latex]y_1=C_1e^{k_1x}=C_1e^{-2x}\\ y_2=C_2e^{k_2x}=C_2e^{4x}[/latex] То есть, дифференциальное уравнение будет иметь общее решение в виде: [latex]y=y_1+y_2=C_1e^{-2x}+C_2e^{4x}[/latex] - общее решение [latex]y'=-2C_1e^{2x}+4C_2e^{4x}\\ \\ 10=-2C_1+4C_2\\ \\ 5=-C_1+2C_2[/latex] [latex]4=C_1+C_2[/latex] Составим систему: [latex]+\displaystyle \left \{ {{5=-C_1+2C_2} \atop {4=C_1+C_2}} \right. \\ \\ 9=3C_2\\ C_2=3\\ C_1=4-C_2=4-3=1[/latex] [latex]y=e^{-2x}+3e^{4x}[/latex] - частное решение