Найти диагонали параллелограма ABCD, у которого AB=13 см, AD=16СМ и BE=9СМ, где точка E середина стороны AD.

Рассмотрим треугольник АВD. По формуле медианы треугольника имеем: ВЕ=(1/2)*√(2АВ²+2ВD²-АD²). Возведем обе части в квадрат и подставим известные значения:ВЕ²=(1/4)*(2АВ²+2ВD²-АD²). Или 81*4=(2*169+2*х²-256). Решая уравнение, получим: х²=121, х=11. Диагональ BD=11. В треугольнике ВСD медиана СО - половина второй диагонали параллелограмма. По формуле медианы: СО=(1/2)*√(2ВС²+2СD²-ВD²). Тогда АС=2*СО и АС=√(2*256+2*169-121)=√729=27. Ответ: диагонали параллелограмма равны 11 и 27. P.S. Задачу можно решить и через площади треугольников, помня, что медиана делит площадь треугольника на два РАВНОВЕЛИКИХ. По формуле Герона S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р- полупериметр, а,b,c - стороны треугольника. Тогда Sabe=√(15*2*7*6)=√1260. Sabd=2*Sabe. Sabd=2*√1260=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]. р=(13+16+х)/2 =(29+х)/2. (р-a)=(x+3)/2. (p-b)=(x-3)/2. (p-c)=(29-x)/2. Тогда Sabd= 2*√1260=√[(29²-х²)(x²-3²)]/4 или, возведя в квадрат, 64*1260=(29²-х²)(x²-3²). Пусть х²=y. Раскрыв скобки и приведя подобные, получим квадратное уравнение: y²-850y+88209=0, решив которое, получаем y1=729 и y2=121, отсюда х1=27 и х2=11. То есть, диагонали параллелогпрамма равны 11 и 27.

Вариант решения.По т.косинусов cosA=АВ²+АЕ²-ВЕ² ):2АВ•АЕ Точка Е - середина АD. Значит, АЕ=8 cosA=(169+64-81):208, откуда cosA=19/26  Тогда ВД=√(AB²+AD²-2AB•AD•cosA) BD=√(169+256 - 2•13•16•19/26)=√121=11 см Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон (свойство).  Тогда ВD²+АС² =2•(АВ²+ВС²)  121+АС²=2•(169+256) АС=√729= 27 см