Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиками функции y=[latex] x^{2} [/latex], y= [latex] \sqrt{2-x} [/latex]и прямой у=0.

[latex]y= \sqrt{2-x} \; \; \to \; \; y^2=2-x\; ,\; \; y^2=-(x-2)[/latex] Последнее уравнение - парабола, симметричная оси ОХ, ветви  которой направлены влево, вершина которой находится в точке (2,0), пересекает ось ОУ в точке  [latex](0, \pm\sqrt{2}) [/latex]. Следовательно, уравнение  [latex]y=\sqrt{2-x}[/latex] является  верхней ветвью этой параболы.  [latex]y=x^2[/latex] - парабола, симметричная оси ОУ, ветви вверх, вершина в точке (0,0). Точки пересечения этих кривых: [latex]x^2=\sqrt{2-x}[/latex] . [latex]x^4=2-x\; ,\; \; x^4+x-2=0\; \; \to \; \; x=1[/latex] Другие точки пересечения нас не интересуют, так как  из  чертежа видно, что достаточно этой точки. [latex]V=\int _0^1(x^2)^2dx+\pi \int _1^2(\sqrt{2-x})^2dx=\pi \int _0^1x^4dx+\pi \int _1^2(2-x)dx=\\\\=\pi \cdot \frac{x^5}{5}\, |_0^1+\pi \cdot (2x-\frac{x^2}{2})|_1^2=\frac{\pi}{5}+\pi \cdot (4-2-2+\frac{1}{2})=\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi }{10}[/latex]