Найти область определения функции y = [latex] \sqrt{ 25^{x}- 8 * 5^{x}+15 } [/latex]

Для этого подкоренное выражение должно быть неотрицательным, есть выполняться неравенство [latex]25^x-8*5^x+15\geqslant 0[/latex] Пусть [latex]t=5^x[/latex]. Тогда [latex]t^2-8t+15\geqslant 0.[/latex] Согласно теореме Виетта нетрудно догадаться, что [latex] \left \{ {{t_1*t_2=15} \atop {t_1+t_2=8}} \right. [/latex]. Множителями числа 15 будут 5 и 3. В сумме же они дадут 8. Значит эти числа будут корнями уравнения [latex]t^2-8t+15=0.[/latex] Неравенство можно переписать в виде [latex](t-3)*(t-5)\geqslant 0[/latex] Методом интервалов нетрудно посчитать, что при [latex]t\in(-\infty;\,3]\cup [5;\,\infty)[/latex] Теперь вместо t подставим исходное значение [latex] \left \{ {5^x\leqslant 3,} \atop {5^x\geqslant 5.}} \right. [/latex] Логарифмируя обе части этих неравенств по основанию 5, не меняем знака неравенства, так как 5>1. [latex] \left \{ {{x\leqslant \log_5 3} \atop {x\geqslant \log_5 5}} \right. [/latex] Или [latex]\left \{ {{x\leqslant \log_5 3} \atop {x\geqslant 1}}[/latex] А если записать в виде интервалов, то Ответ: [latex]x\in(-\infty;\,\log_5 3]\cup[1;\,\infty)[/latex]