Найти общее решение дифференциального уравнения  [latex]y''+py'+qy=f(x)[/latex] и  частное решение, удовлетворяющее начальным условиям [latex]y=y_{0}, y'=y'_{0}[/latex] при x=0.   [latex]y''-4y'+3y=3e^{2x}; y_{0}=2, y'_{0}=-1 [...

Сначала решим общее однородное уравнение: y''-4y'+3y=0 Для этого составим характеристическое уравнение: [latex]\lambda^2-4\lambda+3=0[/latex]  Находим корни, получаем:  [latex]\lambda_1=1, \lambda_2=3[/latex]   Тогда общее решение однородного уравнения запишется как:  [latex]y(x)=C_1e^{\lambda_{1}x}+C_2e^{\lambda_{2}x}=C_1e^{x}+C_2e^{3x}[/latex]   Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Попробуем подобрать его, вообще тут видно, что частное решение этого уравнения будет [latex]y(x)=-3e^{2x}[/latex]    Если такой вариант нахождения частного решения не подходит, то можно решать все долго и по формулам:  для этого воспользуемся методом вариации постоянной, дл это представим C1 и С2 как функции от х  и решим все по формуле: [latex]\left \{ {{C'_{1}(x)e^x+C'_{2}(x)e^3x=0} \atop {C'_{1}(x)e^x+3C'_{2}(x)e^3x=3e^{2x}}} \right.[/latex]  Разделим первое и второе уравнениея на [latex]e^x[/latex] , выразим из 1го уравнения [latex]C'_{1}(x)[/latex] получим  [latex]C'_1(x)=-C'_2(x)e^{2x}[/latex] Теперь подставим это во второе уравнение и получим, после всех сокращений:   [latex]C'_2(x)=\frac{1}{2}, C_2(x)=\frac{x}{2}[/latex]  Теперь найдем C1(x)   [latex]C'_1(x)=-\frac{1}{2}e^{2x}, C_1(x)=-\frac{1}{4}e^{2x}[/latex]  Подставляем найденные C1 и C2 и получаем:  Частное решение в виде:   [latex]\frac{x}{2}e^x-\frac{e^{2x}}{4}e^{3x}[/latex]   Теперь найдем общее решение: Y(x)=общее решение однородного уравнения+частное решение неоднородного уравнения     Я думаю что стоить взять частное решение которое было получено подбором, потому что оно проще, да и я мог где нибудь ошибиться в расчетах, поэтому: [latex]Y(x)=C_1e^x+C_2e^{3x}-3e^{2x}[/latex] (1)  Теперь решаем задачу Коши: Она заключается в нахождении C1 и C2 Все просто, подставим в решение (1) вместо x число 0, а вместо y число 2 (это соответсвует y(0)=2) [latex]2=C_1+C_2-3, C_1+C_2=5, C_1=5-C_2[/latex] Теперь возьмем производную и подставим в нее вместо x ноль, а вместо y -1  [latex]Y'(x)=e^x(C_1+3e^x(C_2e^x-2))[/latex]  [latex]-1=(C_1+3(C_2-2))=C_1+3C2-6=-1, C1+3C2=5[/latex] Получили систему уравнение:  [latex]\left \{ {{C_1=5-C_2} \atop { C1+3C2=5}} \right[/latex] Отсюда C2=0, C1=5. Теперь запишем ответ: ОТВЕТ:   [latex]Y(x)=5e^x-3e^{2x}[/latex]