Найти сумму беск ряда sinx+sin2x/2!+sin3x/2!..........

[latex] sinx+\frac{sin2x}{2!}+\frac{sin3x}{3!}+\frac{sin4x}{4!}+...+\frac{sin(nx)}{n!}[/latex] Так как  [latex]e^{ix}=cosx+isinx[/latex], то теперь выражение удобно представим в виде такой форме.    Заметим что в ряде Тейлора    [latex]e^{ix}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}[/latex]   откуда  [latex]e^{e^{ix}}-1=\frac{e^{ix}}{1!}+\frac{e^{2ix}}{2!}+\frac{e^{3ix}}{3!}+...+ \frac{e^{nix}}{n!}[/latex]  то есть искомая сумма есть мнимая часть суммы ряда .     так как [latex]e^{ix}=cosx+isinx\\ e^{cosx+isinx}-1 = (cos(sinx)+isin(sinx))*e^{cosx}-1\\ [/latex]     Видна что наша сумма равна              [latex] e^{cosx}*sin(sinx)[/latex]