Найти сумму в конечном виде: 1*(3^1) + 2* (3^2)+..+ n*(3^n)

[latex]1*3^1+2*3^2+...n*3^n=\\\\ 3(1+2*3+...n*3^{n-1})=\\\\ [/latex] примем [latex]x=3[/latex]  , заметим что  [latex]x^n'=n*x^{n-1}\\[/latex] откуда  [latex]3(x+x^2+x^3+x^4....x^n)=3*S_{geom}\\\\ S_{geom}=\frac{x(x^n-1)}{x-1}\\\\ [/latex] надо найти производную и домножить на [latex]3[/latex] это будет конечный вид суммы.  [latex]S_{geom}'=\frac{x^n(nx-n-1)+1}{(x-1)^2}\\\\ S_{n}=1*3^1+2*3^2+...n*3^n=\frac{3*3^n(2n-1)+3}{4}\\\\ [/latex]