Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0) [latex]S: x^{2} + y^{2}-xz-yz=0[/latex]

Рассмотрим функцию     [latex]f(x,y,z)=x^2+y^2-xz-yz[/latex] Наша функция задана в неявном виде, то частные производные функции вычисляются по формулам: [latex] \dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{ \frac{\partial f}{\partial x} }{ \frac{\partial f}{\partial z} } =- \dfrac{2x-z}{-x-y} [/latex] [latex] \dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{ \frac{\partial f}{\partial y} }{ \frac{\partial f}{\partial z} } =- \dfrac{2y-z}{-x-y} [/latex] Вычислим значение частных производных в точке [latex]M_0[/latex] с координатами [latex](x_0;y_0;z_0).[/latex] [latex]f'_x(x_0;y_0;z_0)= \dfrac{2x_0-z_0}{x_0+y_0} \\ \\ f'_y(x_0;y_0;z_0)= \dfrac{2y_0-z_0}{x_0+y_0} [/latex] Запишем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке [latex]M_0:[/latex] [latex]z-z_0=f'_x(x_0;y_0;z_0)(x-x_0)+f'_y(x_0;y_0;z_0)(y-y_0)[/latex] - уравнение касательной в общем виде. [latex]\boxed{z-z_0= \dfrac{2x_0-z_0}{x_0+y_0} \cdot (x-x_0)+ \dfrac{2y_0-z_0}{x_0+y_0} \cdot(y-y_0)}[/latex] - уравнение касательной плоскости к поверхности в точке [latex]M_0[/latex] с координатами [latex](x_0;y_0;z_0).[/latex] Уравнение нормали в общем виде:       [latex] \dfrac{x-x_0}{f'_x(x_0;y_0;z_0)} = \dfrac{y-y_0}{f'_y(x_0;y_0;z_0)} = \dfrac{z-z_0}{-1} [/latex] Пользуясь этой формулой, имеем каноническое уравнение нормали к поверхности в точке [latex]M_0:[/latex] [latex]\boxed{\dfrac{(x-x_0)(x_0+y_0)}{2x_0-z_0} = \dfrac{(y-y_0)(x_0+y_0)}{2y_0-z_0} = \dfrac{z-z_0}{-1}}[/latex] - каноническое уравнение нормали к поверхности в точке [latex]M_0[/latex] с координатами [latex](x_0;y_0;z_0).[/latex]