N!/(n-5)!=20n!/(n-3)! с объяснением.

Стоящий рядом с числом восклицательный знак называется факториалом этого числа. Например n! - это n-факториал, равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n.  Для наглядности рассмотрим такие примеры: 3!=1*2*3, 4!=1*2*3*4, но мы можем записать его и так: 4!=(1*2*3)*4=3!*4. Аналогично, 5! мы можем записать так: 5!=1*2*3*4*5=3!*4*5=4!*5. В общем случае: n!=1*2*3*...*(n-2)*(n-1)*n=(n-2)!*(n-1)*n=(n-1)!*n.  Теперь заданное уравнение: Левая часть: n!/(n-5)!=(n-5)!*(n-4)*(n-3)*(n-2)*(n-1)*n/(n-1)!=(n-4)*(n-3)*(n-2)*(n-1)*n - сократили на (n-5)!. Правая часть: 20*n!/(n-3)!=20*(n-3)!*(n-2)*(n-1)*n/(n-3)!=20*(n-2)*(n-1)*n. Получилось такое уравнение: (n-4)*(n-3)*(n-2)*(n-1)*n=20*(n-2)*(n-1)*n. Поскольку операция факториал определена только для натуральных чисел, т. е. чисел больших нуля, хотя принято, что 0!=1, то (n-5) должно быть больше или равно нулю, т. е (n-5)>=0, отсюда n>=5, а значит n>0, (n-4)>0, (n-3)>0, (n-2)>0, (n-1)>0, и на любое из них можно сократить. Сокращаем на (n-2)*(n-1)*n, осталось (n-4)*(n-3)=20, -обычное квадратное уравнение относительно n. n^2-7*n+12=20, n^2-7*n-8=0, откуда получаем n(1)=8, n(2)=-1. Два корня, но n -должно быть натуральным, т. е положительным, подходит только n=8.