Объясните написание ь, подбирая слова с тем же корнем, но со следующей твёрдой согласной.По просьбе, на резьбе, во тьме, возьми, на молотьбе, в борьбе, при ходьбе.

Правильно писать ВОЗЬМИ, ВОЗЬМИТЕ, но КАЗНИ, КАЗНИТЕ. Почему?  Правила обозначения мягкости согласного, стоящего внутри слова, объясняют это так.  Буква Ь обязательно ставится после мягкого согласного, за которым следует твердый согласный, например, пиСЬМо, боРЬБа, няНЬКа, реЗЬБа, молоТЬБа, .. Если при изменении слова этот твердый согласный становится мягким, то буква Ь остается: в пиСЬМе, в боРЬБе, с реЗЬБой, няНЬКи, при молоТЬБе, .. Сказанное выше формулируется следующим правилом: между мягкими согласными буква Ь пишется в том случае, если при изменении слова второй согласный звук становится твердым, а первый остается мягким. Это правило и нужно применить в Вашем случае: воЗЬМи-воЗЬМу.