Окно имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр окна равен Р.Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?

Обозначим стороны прямоугольника за х и у. Радиус полукруга R = x/2 Периметр окна Р = 2y+x+пи*R = 2y+x+пи*х/2 =2y+x(1+пи/2) Выразим y  y = P/2-x(1/2+пи/4) Площадь окна S = x*y + пиR^2/2 =x*y+пи*(x/2)^2/2 = x*y+пи*x^2/8 Подставим y S = x*(P/2-x(1/2+пи/4)) +пи*x^2/8 = (P/2)*x -x^2(1/2+пи/4-пи/8) =(P/2)*x-x^2(1/2 +пи/8) Находим максимум этой функции по х Производная S' = P/2-x(1+пи/4) приравниваем к нулю    P/2-x(1+пи/4) = 0    x(1+пи/4) = P/2    x = P/(2+пи/2) =2P/(4+пи)    у =  P/2-x(1/2+пи/4) =P/2- 2P(1/2+пи/4)/(4+пи) =P/2 -P(1+пи/2)/(4+пи) = =P(4+пи-2-пи)/(2*(4+пи)) = P/(4+пи)                                                                        

 При заданном периметре следует найти наибольшую площадь проема окна.  Прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре - квадрат. Следовательно, окно должно иметь проем в виде квадрата с добавлением полукруга.  Радиус этого полукруга r, сторона а квадрата =D=2r. Периметр оконного проема равен сумме трех сторон квадрата плюс длина полуокружности ( полукруга, венчающего оконный проем). Р=πr+6r=r(π+6)=≈ 9,14r Таким образом, размеры окна: r= ≈P:9,14 сторона квадрата a=2r a= ≈Р:4,57