Около прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB описана окружность. Расстояние от точки A до касательной, проходящей через точку C, в три раза меньше расстояния от точки B до тойжекасательной.Чему равен угол ABC?

Давай попробуем рассуждать логически. Во-первых, заметим, что раз касательная касается окружности в точке С, то радиус, проведённый из С будет перпендикулярен касательной. Соответственно, радиус имеет длину R.  Обозначим проекции точек А и В на касательную соответственно А1 и В1. Тогда в прямоугольной трапеции А А1 В1 В внезапно обнаружим, что ОС является средней линией, потому что ОА = R, и ОВ также равно R. Раз такое дело, то радиус R является средним арифметическим оснований трапеции. Допустим, меньшее основание А А1 имеет длину х, тогда радиус R=2х, и большее основание В В1 = 3х. Следовательно, продолжая гипотенузу АВ и касательную до пересечения (назовём точку пересечения буквой М)  увидим, что АМ=R. Далее применим теорему о секущей, которая  скажет, что МС^2 = МА * МВ = R * 3R = 3*R^2. Отсюда МС = R * корень(3), то есть отношение МС/R = корень(3). По ходу, полученное отношение является тангенсом угла МОС, ибо угол МСО прямой. А тангенс какого угла равен корню(3) ? -- это угол 60 градусов, как нам известно из таблиц Брадиса. Осталось последнее действие - заметить, что искомый угол В составляет половину от МОС, т.к.они опираются на одну и ту же дугу АС, но при этом АОС центральный, а В вписанный. Итого, ответ: угол АВС = 60 / 2 = 30 градусов. Ну, у меня так получилось.Лучше проверь за мной.