Окружность с центром  O, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  касается катета BC  в точке M . Луч BO  пересекает катет AC  в точке K . Найдите  AK, если  CM=4 , BM=8  .

Если окружность касается еще какой-то стороны в точке N, и если обозначить  AN = y; BM = 8 = x; CM = r = 4; то (r + x)^2 + (r + y)^2 = (x + y)^2; или r^2 + r*(x + y) = x*y; откуда  y = r*(x + r)/(x - r) = 4*12/4 = 12; Стороны треугольника ABC AB = 20; AC = 16; BC = 12; (это египетский треугольник, то есть подобный 3,4,5) BO - биссектриса, то есть AK/CK = AB/BC; или AK/AC = AB/(AB+BC); AK = 16*20/(20 + 12) = 10;