Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 см и 12 см.

1) находим гипотенузу по т. Пифагора. Она равна 13. 2) смотрим файл с обозначениями 3) треугольники АВС и ОМС  прямоугольные, подобны. значит,составляем отношение (13-R)/R=13/5 R=65/18

Дано: ΔАВС -прямоугольный, окружность с центром О, АС=5, ВС=12. Решение: АО=ОК=R - радиусы окружности проведем еще один радиус R в точку касания Н. следует знать теорему: "Радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен самой касательной." То есть ∠ОНВ=90° по теореме Пифагора найдем гипотенузу АВ АВ=√(АС²+ВС²)=√(5²+12²)=13  Если АВ=13 и АО=R, то ОВ=АВ-АО=13-R рассмотрим ΔАВС и ΔВОН ∠АСВ=∠ОНВ=90° ∠АВС -общий, следовательно треугольники подобны по двум углам. Если треугольники подобны, то можно составить пропорцию [latex] \frac{AC}{OH} = \frac{AB}{OB} \\ \\ \frac{5}{R} = \frac{13}{13-R } \\ \\ 5(13-R)=13R \\ 65-5R=13R \\ 18R=65 \\ R= \frac{65}{18} =3 \frac{11}{18} [/latex] [latex]OTBET: 3 \frac{11}{18} [/latex]