Определить количество корней уравнения cos2x-cos8x=sin5x на промежутке [0;Пи]

cos2x - cos8x = sin5x -2sin5x * sin3x = sin5x -sin5x (2sin3x + 1)=0 sin 5x =0 5x = πk, k ∈ Z x = πk/5, k ∈ Z sin3x = -0.5 3x = [latex](-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{6} + \pi k,k \in Z[/latex] [latex]x=(-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{18}+ \frac{\pi k}{3}, k \in Z [/latex] Отбор корней Для корня x = πk/5 k=0; x=0 k=1; x=π/5 k=2; x=2π/5 k=3; x=3π/5 k=4; x=4π/5 k=5; x=π Для корня [latex]x=(-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{18}+ \frac{\pi k}{3}[/latex] k=1; x=7π/18 k=2; x=13π/18 k=3; x=17π/18 Кол-во корней: 8

Есть формулы сложения/вычитания косинусов. cos a - cos b = -2sin ((a+b)/2)*sin ((a-b)/2) В нашем случае cos 2x - cos 8x = -2sin 5x*sin (-3x) = 2sin 5x*sin 3x Получаем уравнение 2sin 5x*sin 3x = sin 5x 1) sin 5x = 0, 5x = pi*k, x = pi/5*k На промежутке [0, pi] будут корни 0, pi/5, 2pi/5, 3pi/5, 4pi/5, pi - 5 корней 2) 2sin 3x = 1, sin 3x = 1/2, 3x = pi/6 + 2pi*n, x = pi/18 + 2pi/3*n = pi/18 + 12pi/18*n На промежутке [0, pi] будут корни pi/18, 13pi/18 - 2 корня 3x = 5pi/6 + 2pi*m, x = 5pi/18 + 2pi/3*m = 5pi/18 + 12pi/18*m На промежутке [0, pi] будут корни 5pi/18, 17pi/18 - 2 корня. Всего 9 корней.