Опять 50 баллов для самых умных! Найти все значения a, при которых корни уравнения (a-1)x2+2(a-2)x+a+1=0 положительны.

Найти все значения a, при которых корни уравнения положительны [latex]\displaystyle (a-1)x^2+2(a-2)x+a+1=0[/latex] 1) а=1 [latex]\displaystyle (1-1)x^2+2(1-2)x+1+1=0 -2x+2=0 x=1[/latex] 2) a≠1 найдем дискриминант [latex]\displaystyle D=4(a-2)^2-4(a-1)(a+1)=20-16a[/latex] чтобы были решения нужно чтобы D≥0 [latex]\displaystyle 20-16a \geq 0 a \leq 1.25[/latex] теперь найдем корни уравнения первый корень [latex]\displaystyle x_1 =\frac{-2(a-20+ \sqrt{20-16a}}{2(a-1)}\ \textgreater \ 0 [/latex] при этом а≠1 решим неравенство [latex]\displaystyle \frac{4-2a+\sqrt{20-16a}}{2(a-1)}\ \textgreater \ 0 [/latex] найдем нули числителя [latex]\displaystyle 4-2a+ \sqrt{20-16a}=0 [/latex] где a≤1.25  [latex]\displaystyle \sqrt{20-16a}=2a-4 [/latex] 2a-4≥0 a≥2 Значит числитель нулю при а≤1,25 не равен расставим знаки _____-__________+_______                  1                         1,25 Значит а∈(1;1.25] второй корень [latex]\displaystyle x_2= \frac{-2(a-2)- \sqrt{20-16a}}{2(a-1)}\ \textgreater \ 0 [/latex] при а≠1 решим это неравенство найдем нули числителя [latex]\displaystyle 4-2a- \sqrt{20-16a}=0 4-2a= \sqrt{20-16a} [/latex] где 4-2а≥0; a≤2 [latex]\displaystyle (4-2a)^2=20-16a 16-16a+4a^2=20-16a a^2=1 a_1=1; a_2=-1[/latex] расставим знаки ___-______+_____+_____             -1         1               1,25 при a∈[-1;1)∪(1;1.25] теперь найдем пересечение решений a=1. a∈(1;1.25] a∈[-1;1)∪(1;1.25] ответ a∈[1;1.25]

Рассмотрим сначала случай a=1: -2x+2=0; x=1>0.  Пусть a≠1, тогда имеем квадратное уравнение. Найдем его дискриминант: D=4((a-2)^2-(a-1)(a+1))=4(-4a+5) Если D<0, то есть a>5/4, то корней нет Если D=0, то есть a=5/4, то корень один (или, как правильнее говорить, их два, но они совпали. Еще говорят: кратный корень): x= - (a-2)/(a-1)=3>0 Если D>0 (то есть a<5/4), корней два.  Один из возможных методов рассуждения основан на теореме Виета и на следующем простом соображении: Два числа положительны тогда и только тогда, когда их произведение и сумма положительны. Отсюда получаем систему (a+1)/(a-1)>0; (2-a)/(a-1)>0, решив которую методом интервалов, получаем условие a∈(1;2). Но a<5/4⇒ a∈(1;5/4). Вспоминая полученные ранее значения a, получаем Ответ: [1;5/4] Замечание для тех, кто входит в категорию 16+ ))) Ответ в задаче зависит от того, как интерпретировать условие.  Что значит "корнИ"? То есть корней должно быть больше одного?  А если корень кратный, он один или их два? По хорошему, чтобы не было разночтений, в условии должно быть написано: ХОТЯ БЫ ОДНО РЕШЕНИЕ. И именно решение, а не корень, чтобы решающий не мучился вопросом - кратный корень - это корень или корни. Возможна и такая формулировка: хотя бы одно значение x, удовлетворяющее уравнению.