Основанием пирамиды  SABCD является ромб со стороной √30 и углом ВАD, равным arccos 3/4. Ребро SD перпендикулярно основанию, а ребро SB образует с основанием угол 60 градусов. Найдите радиус сферы, проходящей через точки А, В, ...

Ну, баллов много, но задача эта совсем не сложная. Логически она решается "на раз". Все, что надо сообразить - что середина SB - пусть это точка E - проектируется на основание прямо в центр ромба H (точку пересечения диагоналей AC и BD). Это означает, что плоскость ABC и плоскость AEC - перпендикулярны.  Сечения сферы этими перпендикулярными плоскостями - это просто окружности, описанные вокруг треугольников ABC (в плоскости ABC) и AEC (в плоскости AEC).  То есть на сфере есть две окружности с общей хордой AC (радиусы окружностей очевидно вычисляются из условия), расположенные в перпендикулярных плоскостях.  Через середину AC перпендикулярно AC проходит плоскость, очевидно содержащая центр сферы - эта плоскость - геометрическое место точек, равноудаленных от A и C, и в ней центр лежит на таком же расстоянии от B и E (которые тоже лежат в этой плоскости, разумеется). Тут главное - не выдумать случайно, что центр О лежит в плоскости ABC - это не так. А это означает, что центральное сечение является окружностью, описанной вокруг треугольника BEB1, где BB1 - диаметр окружности, описанной вокруг ABC. Точка B1 лежит на продолжении BD.  Получается, что для решения задачи надо 1) найти диаметр окружности, описанной вокруг ABC, BB1 = d; 2) найти радиус R окружности, описанной вокруг треугольника BEB1. Это и будет искомый радиус сферы. Теперь можно считать. Пусть a = √30; α = arccos(3/4); Для треугольника ABC x = BH = a*sin(α/2); BB1 = d = a/sin(α/2); это просто теорема синусов для ABC;  точно так же для треугольника BEB1 EH = BH*tg(60°) = x*√3; 2*R*sin(60°) = EB1; или, если возвести в квадрат, 4*R^2*(3/4) = EB1^2 = EH^2 + HB1^2 = (d - x)^2 + (x*√3)^2; или 3*R^2 = (d - x)^2 + 3*x^2; при этом d = a/sin(α/2); x = a*sin(α/2); осталось подставить. 3*R^2 = a^2*((1/sin(α/2) - sin(α/2))^2 + 3*(sin(α/2))^2) =  = a^2*((1/2+cos(α)/2)^2/((1/2-cos(α)/2)) + 3*(1/2-cos(α)/2)); = (подставляем числа)   = 30*((7/8)^2/(1/8) + (3/8)) = 30*(49 + 3)/8 = 3*10*52/8; R^2 = 520/8 = 65;