Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 13см, 20см, 21см. Вычислите площадь поверхности пирамиды, если двугранные углы при основании пирамиды равны 30 градусов.

Если двугранные углы при основании пирамиды равны, то апофемы боковых сторон равны. И второй вывод: основание высоты пирамиды находится на пересечении биссектрис треугольника основания пирамиды. Находим площадь основания и радиус вписанной в него окружности: [latex]So= \sqrt{ \frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p} } = \sqrt{ \frac{27*(27-13)(27-20)(27-21)}{27} } =126.[/latex] Здесь р - полупериметр, равный (13+20+21)/2 = 27. Отсюда [latex]r= \frac{S}{p}= \frac{126}{27} = \frac{14}{3} =4,66667.[/latex] Апофемы всех боковых граней равны: [latex]A= \frac{r}{cos30}= \frac{14*2}{3* \sqrt{3} } = \frac{28}{3 \sqrt{3} } [/latex] =  2.694301 см. Площадь боковой поверхности пирамиды складывается из площадей боковых граней:  стороны а = 13 см: [latex]S= \frac{1}{2}* 13*A= \frac{1}{2} *13*[/latex] 2.694301 =  17.51296 см². стороны в = 20 см:  0.5 *20* 2.694301 = 26.94301 см². стороны с = 21 см:  0.5* 21 *2.694301 = 26.94301 см². Sбок = 17.51296 + 26.94301 + 26.94301 =  72.74613 см². S = So + Sбок = 126 + 72.7461 =  198.7461 см².