Отрезок CH- высота прямоугльного треугольника ABC ( C=90 градусов ) . HL=3HK, где HL и HK - биссектрисы треугольников BCH и АСН соответственно, АВ=2*√5. Найти площадь ABC

Сначала доказываем подобие треугольников ВСН и АСН (по двум углам). Это очевидно, поскольку угол АНС и угол ВНС будут прямыми, а угол АСН = углу НВС (из треугольника АВС угол НВС = 90 - угол САВ, из треугольника АСН следует, что угол АСН = 90 - угол САВ (он же угол САН)). Так как эти треугольники подобны, то подобны и их соответственные элементы (в нашем случае биссектрисы). Поэтому коэффициент подобия треугольников АСН и ВСН равен 1/3. Из подобия следует соотношение сторон этих треугольников: АН/СН = СН/ВН = АС/ВС = 1/3 Нас интересует последнее соотношение, дающее нам катеты исходного прямоугольного треугольника АВС. Пусть АС = х, то ВС = 3х, и по т. Пифагора имеем: х² + 9х² = (2√5)² 10х² = 20 х = √2 АС = √2, ВС = 3√2 Площадь треугольника АВС равна половине произведения катетов: 1/2×√2×3√2 = 3 Ответ: 3

Решение в прикреплённом файле