Ответы на вопросы по геометрии к 2 главе

1. Треугольник - это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. (Рис. 1) Стороны: АВ, ВС, АС. Вершины: А, В, С. Углы: ∠АВС, ∠АСВ, ∠ВСА. 2. Равными называются треугольники, которые совпадают при наложении. 3. Теорема - это утверждение, которое доказывается на основании уже известных свойств путем рассуждений. 4. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны стороне и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: Совместим равные углы треугольников таким образом, чтобы совпали их вершины и стороны. Так как длины сторон, образующих эти углы, равны, то совпадут и две другие вершины. А через две точки можно провести единственный отрезок. Значит, совпадет и третья сторона. Треугольники совпали при наложении, значит они равны. 5. Перпендикулярные прямые - это прямые, которые пересекаются под прямым углом. Перпендикуляр к данной прямой - это отрезок перпендикулярной прямой, один конец которого является точкой их пересечения. 6. Из данной точки можно опустить единственный перпендикуляр к данной прямой. (рис. 2) Доказательство: перегнем плоскость по прямой а, тогда точка А отобразится в нижнюю полуплоскость (А'). ∠1=∠2, так как они совместились при наложении. Эти углы смежные, значит каждый из них равен 90°. Через две точки А и А' можно провести единственную прямую, поэтому перпендикуляр - единственный. 7. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. В треугольнике 3 медианы. 8. Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника,  соединяющий вершину треугольника и точку на противолежащей стороне. В треугольнике 3 биссектрисы. 9. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону треугольника. В треугольнике 3 высоты. 10.  Равнобедренный - треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми, а третья - основание. 11. Равносторонний - треугольник, у которого все стороны равны. 12. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. 13. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Доказательство п.12 и 13 (рис. 3) : АВ = ВС так как треугольник равнобедренный, ∠АВМ = ∠СВМ так как ВМ - биссектриса, ВМ - общая сторона для треугольников АВМ и СВМ, значит ΔАВМ = ΔСВМ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что ∠ВАС = ∠ВСА (п. 12) и АМ = МС ⇒ ВМ - медиана, и ∠1 = ∠2, а они смежные, значит ∠1 = ∠2 = 90°, т.е. ВМ - высота. 14. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: Совместим треугольники так, чтобы совпали равные стороны. Так как углы, прилежащие к этим сторонам, равны, то совпадут и эти углы, но тогда совпадет и третья вершина. Следовательно, треугольники равны. 15.  Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 4) Доказательство: Совместим большие стороны треугольников и соединим точки В₁ и  В₂. Получили два равнобедренных треугольника В₁А₁В₂ и В₁С₁В₂. ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как углы при основании равнобедренных треугольников. Тогда и ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4. Т.е. ∠В₁ = ∠В₂. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.