Площадь равнобокой трапеции равна 36 sqrt(2) см^2, а острый угол - 45 градусов. Найдите высоту трапеции, если полусумма её боковых сторон равна средней линии.

Обозначим нижнее основание - а; верхнее основание - в; боковая сторона - с. Площадь трапеции - (а+в)*h/2; по условию - (а+в)/2= (с+с)/2=с; площадь - с*h; Из треугольника АВН АН=ВН - треугольник равнобедренный, углы А и В - 45°, АН=(а-в)/2=h, тогда с= (а-в)/2√2; Площадь - (а-в)/2√2*(а-в)/2=36√2; (а-в)²=144 (а-в)=12; h=(а-в)/2=12/2=6 см.

АВСД - трапеция, ВМ и СК - высоты на основания АД. Прямоугольные тр-ки АВМ и СДК равнобедренные с острыми углами 45°. пусть боковые стороны этих тр-ков равны х, тогда АВ=СД=х√2. По условию полусуммы оснований и боковых сторон равны, значит их суммы равны. АВ+СД=АД+ВС, 2х√2=2х+2ВС, ВС=х√2-х. Также (АД+ВС)·ВМ/2=S, (2х+2ВС)·х/2=36√2, (2х+2х√2-2х)·х=72√2, 2х²√2=72√2, х²=36, ВМ=х=6 см - это ответ.