Площадь трапеции ABCD равна 30 . Её основание AD в два раза больше основания BC. Точка P лежит на середине боковой стороны AB, а точка R на стороне CD, деля её в отношении DR :RC как 2:1. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q. ...

Обозначим ВС=х, АД=2х, проведем высоту СК,обозначим Н,  СК перпендикулярна АД. S=(х+2х)·Н/2 - площадь трапеции, по условию она равна 30. Значит х·Н=20. Это очень нужное в дальнейшем значение. S (Δ APД) = 1/2·АД·H/2  (точка P - середина АВ) S( Δ APД) = 1/2 х·Н=10 ( я обращала внимание, что х·Н=20) Проведем высоту RМ паралелльно СК. Из подобия треугольников СКД и RМД RM=2H/3 S( Δ ARД) = 1/2·2х·2Н/3= 2х·Н/3= 40/3 Площадь треугольника APД состоит из площадей треугольников APQ и AQД. В сумме дает 10 Площадь треугольника ARД состоит из площадей треугольников QPД  и AQД, сумме 40/3. Запишем это в виде равенств и вычтем из второй строки первую Получим  S ( ΔQPД) = S (Δ APQ) + 10/3 Обозначим S ( Δ APД) = s Выразим площади всех треугольников через s  S ( Δ ABQ) = s  ( у треугольников равны основания АР=РВ и высота общая) S ( Δ AQД) = 10 - s S (Δ QRД) = s + 10/3 ( см. выше) S( Δ BCR) = 1/2 ·ВС· Н/3 ( высота из точки R на сторону ВС, в силу условия ДR:RC=2:1) = 1/6· х·Н= 20/6=10/3 S (Δ ABR) = S ( всей трапеции) - S( ΔARД) - S (Δ BCR)= 30 - 40/3 - 10/3=40/3 Получили, что площади треугольков ABR  и ARД  равны. Поскольку основание AR - общее, значит и высоты, проведенные из точек В и Д на сторону AR  равны. Значит и площади треугольников ABQ  и AQД  тоже равны. У них основание общее AQ. Высоты равны. Поэтому s+s=10-s s=10|3 Ответ  Площадь треугольника APQ равна 10/3