Почему для светской власти была важна поддержка церкви?

Ответ прост. Католические церкви в странах Европы подчинялись Папе. Он, как правило, утверждал кандидатуру правителя, давал грамоту папскую на царство. Православная церковь, после того как Москва стала Третьим Римом, была полностью подчинена власти. (царю, позднее - императору).