Помогите, пожалуйста!!!! Вычислить интеграл: [latex] \int\limits { \frac{x+2}{x^3-2x^2+2x} } \, dx [/latex]

Разложим подинтегральную дробь на простейшие дроби. Для этого разложим знаменатель на множители х³-2х²+2х=х(х²-2х+2) Дискриминант квадратного трехчлена х²-2х+2 отрицательный, поэтому на множители не раскладывается [latex] \frac{x+2}{x(x^2-2x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{Mx+N}{x^2-2x+2} [/latex] Приводим к общему знаменателю правую часть и приравниваем только числители х+2=А·(х²-2х+2)+Mx²+Nx х+2=(А+M)x²+(N-2A)x+2A Слева многочлен первой степени, но его можно записать и как многочлен второй степени, если приписать 0·х² Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа A+M=0 N-2A=1 2A=2 A=1 M=-1 N=1+2A=1+2=3 [latex] 1)\int \frac{dx}{x}=ln|x|+C_1 [/latex] [latex]2)\int \frac{(-x+3)}{x^2-2x+2} dx= \int \frac{(-x+3)}{(x^2-2x+1)+1} dx= \int \frac{(-x+3)}{(x-1)^2+1} dx=[/latex] Замена переменной (х-1)=t x=t+1 dx=dt [latex]=\int \frac{(-(t+1)+3)}{t^2+1} dt=\int \frac{2-t}{t^2+1} dt=\int \frac{2}{t^2+1} dt-\int \frac{t}{t^2+1} dt= \\ \\ =2arctgt- \frac{1}{2}ln|t^2+1 |+C_2= 2arctg|x-1|- \frac{1}{2}ln|x^2-2x+2 |+C_2[/latex] Ответ. [latex]ln|x|+C_1+2arctg|x-1|- \frac{1}{2}ln|x^2-2x+2 |+C_2= \\ \\ =ln|x|+2arctg|x-1|- \frac{1}{2}ln|x^2-2x+2 |+C[/latex]