Помогите ,пожалуйста,вычислить интеграл: [latex] \int\limits { \frac{dx}{x^3+x^2+2x+2} } \,=[/latex]

Разложим подинтегральную дробь на простейшие дроби. Для этого разложим знаменатель на множители х³+х²+2х+2=х²(x+1)+2(х+1)=(x+1)(x²+2) Дробь раскладывается на простейшие дроби [latex] \frac{1}{x^3+x^2+2x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Mx+N}{x^2+2} [/latex] Приводим к общему знаменателю правую часть и приравниваем только числители 1=А·(х²+2)+Mx²+Nx+Mx+N 1=(А+M)x²+(M+N)x+2A+N Слева многочлен нулевой  степени, но его можно записать и как многочлен второй степени, если приписать 0·х²+0·х+1 Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа A+M=0    ⇒   A=-M M+N=0    ⇒   N=-M 2A+N=1 2·(-M)+(-M)=1 M=-1/3 A=1/3 N=1/3 [latex] \int \frac{1}{x^3+x^2+2x+2}dx= \int (\frac{ \frac{1}{3} }{x+1}+ \frac{ -\frac{1}{3}x+ \frac{1}{3} }{x^2+2} )dx = \\ \\ =\frac{1}{3} \int \frac{1 }{x+1}dx - \frac{1}{6}\int \frac{2x}{x^2+2}dx + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2+2}dx \\ \\ =\frac{1}{3}ln|x+1|-\frac{1}{6}ln|x^2+2|+ \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{ \sqrt{2} }arctg \frac{x}{ \sqrt{2} }+C [/latex]