Помогите решить задания с 3-6

3) Воспользуемся формулой: [latex]\cos \alpha +\cos \beta = \dfrac{\cos( \alpha + \beta )+\cos( \alpha - \beta )}{2} [/latex] [latex]\cos(3x+4x)+\cos(3x-4x)-\cos 7x=\cos 7x+\cos x-\cos7x=\cos x[/latex] Упростим значение выражения: [latex]\cos \frac{x}{2} = \sqrt{0.8} [/latex] Возведем обе части в квадрат, получим: [latex]\cos^2 \frac{x}{2} =0.8[/latex] По формуле понижения степеней: [latex] \dfrac{1+\cos x}{2} =0.8\\ 1+\cos x=1.6\\ \cos x=0.6[/latex] Ответ: [latex]0.6[/latex] 4) [latex]\cos ( \frac{ \pi }{2} +x)=-\sin x[/latex] отсюда [latex]\sin x=- \dfrac{12}{13} [/latex] В 3 четверти косинус отрицателен, значит: [latex]\cos x= -\sqrt{1-\sin^2x} =- \dfrac{5}{13} [/latex] По условию найдем значение выражения: [latex]tg 2x= \dfrac{\sin2x}{\cos2x}= \dfrac{2\sin x\cos x}{\cos^2x-\sin^2x} = \dfrac{2\cdot \frac{5\cdot 12}{169} }{ \frac{25}{169} - \frac{144}{169} } = \dfrac{2\cdot5\cdot12}{(5-12)(5+12)} = -\dfrac{120}{119} [/latex] 5) [latex]\cos3x-\cos 9x+ \sqrt{3} \sin2x=0[/latex] Воспользуемся формулой: [latex]\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{ \alpha + \beta }{2} \sin\frac{ \alpha - \beta }{2} [/latex] [latex]-2\sin\frac{5x+9x }{2} \sin\frac{ 5x-9x }{2} + \sqrt{3} \sin 2x=0\\ 2\sin 7x\sin 2x+\sqrt{3} \sin 2x=0\\ \sin2x(2\sin 7x+\sqrt{3} )=0[/latex] Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю [latex]\sin2x=0\\ 2x=\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ x= \dfrac{\pi k}{2} ,k \in \mathbb{Z}[/latex] [latex]\sin 7x=- \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ x=(-1)^{k+1}\cdot \dfrac{\pi}{21} + \dfrac{\pi n}{7} ,n \in \mathbb{Z}[/latex] Отбор корней: [latex]k=0;\,\,\, x=0\\n=1;\,\,\, x= \dfrac{\pi}{21} + \dfrac{\pi}{7} = \dfrac{4\pi}{21} \\ \\ n=2;\,\,\, x=- \dfrac{\pi}{21} + \dfrac{2\pi}{7} = \dfrac{5\pi}{21} [/latex] 5) [latex] \sqrt{3} \sin 3x+\cos 3x=1[/latex] Формула: [latex]a\sin x\pm b\cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin (x\pm \arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} )[/latex] В нашем случае: [latex] \sqrt{3+1} \sin (3x+\arcsin \frac{1}{ \sqrt{3+1} } )=1\\ 2\sin(3x+ \frac{\pi}{6})=1 \\ \\ 3x+ \frac{\pi}{6}=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ 3x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6}- \frac{\pi}{6}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\, |:3\\ \\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{18}- \frac{\pi}{18}+ \frac{\pi k}{3},k \in \mathbb{Z}[/latex] [latex]2+\cos x=2tg \frac{x}{2} \\ \\ 2+\cos x= 2\cdot\frac{1-\cos x}{\sin x} |\cdot \sin x\\ \\ 2\sin x+\sin x\cos x=2-2\cos x\\ 2(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x-2=0[/latex] Представим число [latex]2=2(\sin^2 x+\cos^2 x)[/latex] [latex]2(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x-2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0[/latex] Добавим и вычтем слагаемые [latex]\sin 2x:[/latex] [latex]2(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x-2(\sin^2x+\sin2x+\cos^2x-\sin 2x)=0\\ 2(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x-2(\sin x+\cos x)^2+2\sin2x=0\\ 2(\sin x+\cos x)^2-5\sin x\cos x-2(\sin x+\cos x)=0[/latex] Пусть [latex]\sin x+\cos x=t\,\,\,\, (\star)[/latex], причем [latex]|t| \leq \sqrt{2} [/latex] Возведем обе части в квадрат: [latex]1+2\sin x\cos x=t^2[/latex], отсюда [latex]\sin x\cos x= \frac{t^2-1}{2} [/latex]  Заменяем: [latex]2t^2-5\cdot \dfrac{t^2-1}{2} -2t=0|\cdot 2\\ \\ 4t^2-5(t^2-1)-4t=0\\ 4t^2-5t^2+5-4t=0\\ -t^2-4t+5=0\\ t^2 +4t-5=0[/latex] Вычислим дискриминант квадратного уравнения: [latex]D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36[/latex] [latex]D\ \textgreater \ 0[/latex], значит квадратное уравнение имеет 2 корня: [latex]t_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-4+6}{2} =1[/latex] [latex]t_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-4-6}{2} =-5\,\,\,\, \notin (|t| \leq \sqrt{2} )[/latex]  Обратная замена [latex]\sin x+\cos x=1\\ \sqrt{1^2+1^2}\sin(x+\arcsin \frac{1}{ \sqrt{1^2+1^2} } )=1\\ \\ \sin(x+ \frac{\pi}{4} )= \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}[/latex]