Постройте график функции y=[latex](x-2)^{2} -1[/latex] Укажите для этой функции: а) область определения; б) нули; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания (убывания); д) область изменения.
Постройте график функции
y=[latex](x-2)^{2} -1[/latex]
Укажите для этой функции:
а) область определения;
б) нули;
в) промежутки знакопостоянства;
г) промежутки возрастания (убывания);
д) область изменения.
Ответ(ы) на вопрос:
Гость
График будет во вложении.
а)
Так как это квадратичная функция, и ее график парабола. То как известно:
[latex]D(f)=(-\infty,\infty)[/latex]
b)
[latex](x-2)^2-1=0[/latex]
[latex]x^2-4x+4-1=0[/latex]
[latex]x^2-4x+3=0[/latex]
[latex] \sqrt{D}= \sqrt{16-12}=2 [/latex]
[latex]x_{1,2}= \frac{4\pm2}{2}=3,1[/latex]
Сразу для будущего я упрощу нашу функцию по теореме Виета:
[latex]y=(x-3)(x-1)[/latex]
c)
Отметим эти 2 точки на числовой прямой , и получим 3 интервала и их знаки:
[latex](-\infty,1)=+[/latex]
[latex](1,3)=-[/latex]
[latex](3,+\infty)=+[/latex]
То есть, на 1 и 3 интервалах, функция положительна, на 2 интервале, отрицательна.
Конечный ответ:
[latex]y\ \textgreater \ 0[/latex], если [latex]x\in (-\infty,1) \cup (3,+\infty)[/latex]
И
[latex]y\ \textless \ 0[/latex], если [latex]x\in (1,3)[/latex]
d)
Так как коэффициент а>0 то ветви параболы смотрят вверх, и вершина такой параболы является минимумом функции.
Найдем вершину:
[latex]x= \frac{4}{2}=2 [/latex]
[latex]y=(2-3)(2-1)=-1[/latex]
[latex](2,-1)[/latex]
Все сделано по формулам вершины.
Так как вершина является минимумом. То производная данной функции меняет в этой точке свой знак с минуса на плюс.
Отсюда следующие промежутки убывания и возрастания:
Функция убывает на интервале [latex](-\infty,2)[/latex]
Функция возрастает на интервале [latex](2,+\infty)[/latex]
e)
Область изменения = Область значений.
Аналитически это слишком долго находить, поэтому решим это смотря на график.
Мы видим что есть минимум, после минимума функция возрастает, и не идет больше вниз.
То есть:
[latex]E(f)=[-1;+\infty)[/latex]
Не нашли ответ?
Похожие вопросы