Постройте график функции y=[latex](x-2)^{2} -1[/latex] Укажите для этой функции: а) область определения; б) нули; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания (убывания); д) область изменения.

График будет во вложении. а) Так как это квадратичная функция, и ее график парабола. То как известно: [latex]D(f)=(-\infty,\infty)[/latex] b) [latex](x-2)^2-1=0[/latex] [latex]x^2-4x+4-1=0[/latex] [latex]x^2-4x+3=0[/latex] [latex] \sqrt{D}= \sqrt{16-12}=2 [/latex] [latex]x_{1,2}= \frac{4\pm2}{2}=3,1[/latex] Сразу для будущего я упрощу нашу функцию по теореме Виета: [latex]y=(x-3)(x-1)[/latex] c) Отметим эти 2 точки на числовой прямой , и получим 3 интервала и их знаки: [latex](-\infty,1)=+[/latex] [latex](1,3)=-[/latex] [latex](3,+\infty)=+[/latex] То есть, на 1 и 3 интервалах, функция положительна, на 2 интервале, отрицательна.  Конечный ответ: [latex]y\ \textgreater \ 0[/latex], если [latex]x\in (-\infty,1) \cup (3,+\infty)[/latex] И [latex]y\ \textless \ 0[/latex], если [latex]x\in (1,3)[/latex] d) Так как коэффициент а>0 то ветви параболы смотрят вверх, и вершина такой параболы является минимумом функции. Найдем вершину: [latex]x= \frac{4}{2}=2 [/latex] [latex]y=(2-3)(2-1)=-1[/latex] [latex](2,-1)[/latex] Все сделано по формулам вершины. Так как вершина является минимумом. То производная данной функции меняет в этой точке свой знак с минуса на плюс.  Отсюда следующие промежутки убывания и возрастания: Функция убывает на интервале [latex](-\infty,2)[/latex] Функция возрастает на интервале [latex](2,+\infty)[/latex] e) Область изменения = Область значений. Аналитически это слишком долго находить, поэтому решим это смотря на график. Мы видим что есть минимум, после минимума функция возрастает, и не идет больше вниз. То есть: [latex]E(f)=[-1;+\infty)[/latex]