Пожалуйста, очень срочно объясните как найти число точек экстремума функции f(x) = (x-1)^4(x-4)^2 варианты ответа 1, 2, 3, 0 пожалуйста с объяснением

Экстремум - локальный минимум или максимум функции. Буквально, в точке экстремума функция получает своё наименьшее или наибольшее значение на каком-то открытом отрезке. Если экстремум [latex]f(x)[/latex] в [latex]x_0[/latex], то существует открытый отрезок [latex](a,b)[/latex] для которого справедливо: [latex]x_0\in(a,b)\ \land\ \forall x\in (a,b)\ \ \Big( |f(x_0)|\leq|f(x)|\Big)\lor\Big(|f(x_0)|\geq |f(x)|\Big)[/latex] Если функция непрерывна (любая элементарная функция - непрерывна, например), то экстремум можно найти следующим образом: 1. решаем неравенство: [latex]f'(x)\ \textgreater \ 0[/latex] по системе интервалов. 2. Отмечаем точки, в которых знак "-" меняется на "+". 3. В местах, где "-" (слева) меняется на "+" (справа) - получаем миниму. В местах, где "+" (слева) меняется на "-" (справа) - получаем максиму. (*) В местах, где [latex]f'(x)=0[/latex], но знак не меняется в интервалах - получаем точку перегиба. Это - не экстремум! Решаем пример: [latex]f(x)=(x-1)^4(x-4)^2\\ f'(x)=4(x-1)^3(x-4)^2+2(x-4)(x-1)^4\\ f'(x)=(x-1)^3(x-4)\Big(4(x-4)+2(x-1)\Big)\\ f'(x)=(x-1)^3(x-4)(6x-18)\\ f'(x)=6(x-1)^3(x-4)(x-3)\\ f'(x)\ \textgreater \ 0\ \Leftrightarrow \ x\in(1,3)\cup(4,\infty)[/latex] Получаем: [latex]x=1[/latex] - минима [latex]x=3[/latex] - максима [latex]x=4[/latex] - минима

[latex]f'(x)=4(x-1)^3(x-4)^2+2(x-4)(x-1)^4= \\ =6(x-1)^3(x-4)*(x-3) [/latex] Здесь уже очевидно, что производная имеет три нуля и переходя через каждый из них меняет знак. Это достаточное условие существования экстремумов. Ответ: 3.