Правильная четырехугольная пирамида имеет боковое ребро длины 6√3. Найдите наибольшее возможное значение объема этой пирамиды

Обозначим сторону квадрата в основании пирамиды за х. Площадь основания So = x². Высота Н = √((6√3)²-(x√2/2)²) = √(108-(x²/2)) = √(216-x²)/√2. Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)x²*√(216-x²)/√2 = x²*√(216-x²)/3√2. Находим производную функции объёма: [latex]V'= \frac{-x(x^2-144)}{ \sqrt{432-2x^2} } .[/latex] Для нахождения экстремума приравняем производную нулю. Для этого достаточно приравнять числитель нулю. -х(х²-144) = 0, х = 0 (это значение отбрасываем, объём Vmin = 0). х²-144 = 0 х = +-√144 = +-12. Vmax = (1/3)*12²*√(108-(144/2)) = (1/3)*144*√36 = 144*6/3 = 288 куб.ед.