!! При каких значениях a корни уравнения [latex]3 x ^{3} - (a + 1) x^{2} + (a - 2) x = 0[/latex]взятые в некотором порядке, составляют  арифметическую прогрессию? 

[latex]3x^3-(a+1)x^2+(a-2)x=0[/latex] [latex]x(3x^2-ax-x+a-2)=0[/latex] [latex]x(3x^2-x(a+1)+(a-2))=0[/latex] Рассмтрим сначала [latex]3x^2-x(a+1)+(a-2)=0[/latex] [latex]D=a^2+2a+1-12a+24=a^2-10a+25=(a-5)^2[/latex] [latex]x_1= \frac{a+1-(a-5)}{6}= 1[/latex] [latex]x_2= \frac{a+1+(a-5)}{6}=\frac{a-2}{3}[/latex] Возвращаемся сюда [latex]x(3x^2-x(a+1)+(a-2))=0[/latex] [latex]x(x-1)(x-\frac{a-2}{3})=0[/latex] т.е. корни [latex]x=0;1;\frac{a-2}{3}[/latex] и пусть они в таком порядке, тогда чтобы была арифм прогрессия нужно чтобы [latex]\frac{a-2}{3}=2 [/latex] т.е. [latex]a=8[/latex] Если корни в таком порядке [latex]x=0;\frac{a-2}{3};1;[/latex]  [latex]\frac{a-2}{3}= \frac{1}{2} [/latex] [latex]a= \frac{-7}{2} [/latex] если корни в таком порадке  [latex]x=\frac{a-2}{3};0;1;[/latex]  [latex]\frac{a-2}{3}=-1[/latex] [latex]a=-1[/latex]