При каких значениях b прямая y=bx имеет с графиком функции y=(x-3)/(3x-х в квадрате) ровно одну общую точку?

[latex]f(x)=\frac{x-3}{3x-x^2},g(x)=bx[/latex] Определим функцию: [latex]h(x)=f(x)-g(x)[/latex]. Из определения следует, что каждый корень [latex]x_{i}:h(x_{i})=0[/latex] укажет координату x пересечения двух функций (то есть: для каждого корня [latex]x_{i}[/latex] верно [latex]h(x_{i})=0=>f(x_{i})=g(x_{i})[/latex]). [latex]h(x)=\frac{x-3}{3x-x^2}-bx=>h(x)=\frac{x-3-3bx^2+bx^3}{x(3-x)}[/latex] Всё, что от нас требуется - обеспечить единственное решение (три равных корня) [latex]x_{1}[/latex] для h(x). [latex]f(x)=\frac{x-3}{x(3-x)}=>f(x)=-\frac{1}{x}:x \neq 3=>h(x)=\frac{-1-bx^2}{x}:x \neq 3[/latex] Если бы h(x) была, к примеру, параболой - можно было найти все значения b для которых справедливо равенство Δ=0 (следовательно - для которых есть единственное решение), но в данном случае у нас рациональная функция, потому нужен другой метод. Легко проверить что [latex]h(-x)=-h(x)[/latex] следовательно, любой корень [latex]x_{i}[/latex]на области x>0 вернёт корень [latex]x_{j}=-x_{i}[/latex]. А значит и корня будет два! Пусть выполняется [latex]-\frac{1+bx^2}{x}=0[/latex] когда [latex]x=3[/latex]. Как было сказано раньше - мы получим (на первый взгляд) два корня [latex]x_{1}=3,x_{2}=-3[/latex], но! x=3 был исключён из области определения тут: [latex]h(x)=\frac{-1-bx^2}{x}:x \neq 3[/latex], а значит вместо [latex]h(3)=0[/latex] мы получаем прокол. Итого - единственный корень x=-3, что и требовалось. А значения b, выполняющие условие: [latex]b=-\frac{1}{9}[/latex] Реверсия. Для [latex]b=-\frac{1}{9}[/latex] справедливо: едиственный х выполняющий [latex]h(x_{1})=0[/latex] ⇒ едиственный х выполняющий [latex]f(x_1)=g(x_1)[/latex] ⇒ единственная общая точка. Ответ: [latex]b=-\frac{1}{9}[/latex] Если возникнут вопросы - дайте знать.