При каком [latex]p больше 0[/latex] радиус окружности, вписанной в фигуру, заданную уравнением      [latex]|x|+2|y-1|=p[/latex]  равен [latex]2 \sqrt{5} [/latex]

Оно описывает ромб со сторонами равными   [latex]\sqrt{ (\frac{p}{2}) ^2+p^2} = \frac{p\sqrt{5}}{2}[/latex]  Найдем угол   [latex](2p)^2 = 2*(\frac{p \sqrt{5}}{2})^2-2*( \frac{p\sqrt{5}}{2})^2 cosa\\ cosa = - \frac{3}{5}[/latex]  По формуле  [latex] S=AB^2*sina\\ S= \frac{4r^2}{sina}\\\\ S=\frac{5p^2}{4}*sin(\pi-arccos(-\frac{3}{5}))\\ S=\frac{80}{sin(\pi-arccos(-\frac{3}{5})}\\\\ [/latex]  откуда  [latex]p=10[/latex]