При каком наибольшем натуральном n число n!+5n+52 является точным квадратом? (n!=1⋅2⋅…⋅n — произведение всех натуральных чисел то 1 до n)

Предположим, что [latex]n\geq5[/latex], тогда левая часть при делении на пять будет всегда давать остаток 2. Здачит и правая часть [latex]x^2[/latex] должна давать при делении на 5 остаток 2. Но для квадратов остатки при делении на пять могут быть только 0, 1 или 4: [latex](5k)^2=25k^2+0[/latex] [latex](5k\pm1)^2=25k^2 \pm10k+[/latex] [latex](5k\pm2)^2=25k^2 \pm20k+4[/latex] Следовательно должно быть n<5 Тогде перебираем числа 1, 2, 3, 4: 1:  1!+5*1+52=1+5+52=59 не квадрат 2:  2!+5*2+52=2+10+52=64 квадрат 3:  3!+5*3+52=6+15+52=73 не квадрат 4:  4!+5*4+52=24+20+52=96 не квадрат Следовательно решением является только значение n=2.