При каком натуральном значении a уравнение x^3-3x+2-a=0 имеет ровно два корня???

Уравнение с полиномом третьей степени всегда имеет точно три корня. Либо они все три действительные, либо один действительный, а два других комплексно-сопряженные... Поэтому ответ - никогда! Но допустим, что вопрос сформулирован некорректно, и имелось в виду, что два из трех действительных корней совпадают по значению. Проанализируем этот вариант. Известно, что для кубического уравнения вида [latex]ax^3+bx^2+cx+d=0[/latex] существует понятие дискриминанта, который вычисляется по следующей формуле: [latex]\Delta=-4B^3D+B^2C^2-4AC^3+18ABCD-27A^2D^2[/latex] В нашем случае A=1, B=0, C=-3, D=2-a, тогда [latex]\Delta=-4AC^3-27A^2D^2[/latex] Подставив значения получим [latex]\Delta=4*27-27(2-a)^2 \\ \Delta=27(4-(2-a)^2)[/latex] условием совпадения двух корней является условие [latex]\Delta=0[/latex], что приводит нас к уравнению 27(4-(2-a)²)=0 ⇒ 4-(2-a)²=0; 4=(2-a)² [latex](2-a)^2=4 \\ \pm(2-a)=2 \\ a_1=0, a_2=4[/latex]