Прямоугольник ABCD со сторонами a и b сделан из однородной проволоки. Во сколько раз изменится сопротивление между точками A и C, если точки B и D соединить проводом с нулевым сопротивлением?

Пусть сопротивление участка со стороной a равно R, тогда очевидно что сопротивление участка со стороной b будет равно Rb/a До закорачивания точек B и D эквивалентная схема - две параллельные ветки, сопротивление каждой из которых складывается из проволочек длиной а и b, поэтому полное сопротивление [latex]\frac{1}{R_1} = \frac{2}{R+Rb/a} \\\\ R_1 = 0.5R(1+b/a)[/latex] После закорачивания - эквивалентная схема такая - сначала параллельно соединенные проволочки a и b, а потом еще такие же параллельно соединенные a и b. Сопротивление первого соединения [latex]\frac{1}{r} = \frac{1}{R}+\frac{1}{Rb/a} = \frac{1}{R}(1+a/b)\\\\ r = R/(1+a/b)[/latex] А двух соединений, соответственно [latex]R_2 = 2r = 2R/(1+a/b)[/latex] Отношение сопротивлений [latex]k = R_2/R_1 = 2R/(1+a/b)\div(0.5R(1+b/a)) = \\\\ =\frac{4}{(1+a/b)(1+b/a)} = \frac{4ab}{(a+b)^2}[/latex]