Пусть  p(x)  это многочлен степени n   такой, что |p(x)| меньше 1  для всех действительных x таких, что |x|≤1 . Верно ли, что |p(2)| меньше [latex] 4^{n} [/latex]

[latex]P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\\\ -1 \leq x \leq 1 \\\\ [/latex]   оценим каждое слагаемое   [latex]P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\\\ -1 \leq x \leq 1 \\\\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}<1\\\\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}>-1\\\\ [/latex]  положим что  [latex]a_{1}=a_{2}=a_{3}=...=a_{k}\\\\ P(1)=k*a_{k}<1\\\\ a_{k}<\frac{1}{k}\\\\ k\in N\\\\ [/latex]  видно что    [latex]a_{k}<1\\\\ [/latex]       [latex]P(2)=a*2^{n}+a_{1}*2^{n-1}+a_{2}*2^{n-2}+...+a_{k}*2^{n-k} \leq [/latex][latex]2^n+2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{n-k}[/latex]   [latex]a=1\\\\ S_{geom} =2(2^n-1)=2^{n+1}-2<4^n\\\\\ 2^{2n}-2*2^n+2>0\\\\ D<0\\[/latex]   а так как оценка идет сверху то  она и справедлива снизу , верно