Пусть x1, x2 - корни уравнения x^2+px+q=0. Составьте квадратное уравнение, корнями которго являются: а) x1^2, x2^2 ; б) sqrt(x1), sqrt(x2); в) x1/x2 ; x2/x1

[latex]x^2+px+q=0[/latex] по теореме Виета: [latex]x_1+x_2=-p[/latex] [latex]x_1x_2=q[/latex] a) по той же теореме: [latex]x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-p)^2-2q=p^2-2q[/latex] [latex]x_1^2x_2^2=(x_1x_2)^2=q^2[/latex] [latex]x^2-(p^2-2q)x+q^2=0[/latex] б) снова по теореме Виета: [latex]\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})^2}=\sqrt{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}=\sqrt{-p+2\sqrt{q}}[/latex] [latex]\sqrt{x_1}\cdot \sqrt{x_2}=\sqrt{x_1x_2}=\sqrt{q}[/latex] [latex]x^2-\sqrt{-p+2\sqrt{q}}\cdot x+\sqrt{q}=0[/latex] в) и опять по теореме Виета: [latex]\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(-p)^2-2q}{q}=\frac{p^2}{q}-2[/latex] [latex]\frac{x_1}{x_2}\cdot \frac{x_2}{x_1}=1[/latex] [latex]x^2-(\frac{p^2}{q}-2)x+1=0[/latex]