Радиус орбиты меркурия составляет 5.8*10^7 км.Зная также расстояние от Земли до солнца(150млн.км),определите ,во сколько раз продолжительность года на меркурии меньше,чем на земле

Дано: R=5.8·10⁷ км R₃=150 000 000 км=1,5·10⁸ км Найти: Т₃/Т Решение: Солнце и планета взаимодействуют с силой [latex]F=G \frac{Mm}{R^2} [/latex] По Второму закону Ньютона [latex]F=ma[/latex] Тогда [latex]ma=G \frac{Mm}{R^2} \\ a=G \frac{M}{R^2}[/latex] Формула центростремительного ускорения [latex]a= \frac{v^2}{R} [/latex] Тогда [latex] \frac{v^2}{R} =G \frac{M}{R^2} \\v^2=G \frac{M}{R} \\ v= \sqrt{G \frac{M}{R} } [/latex] Период (величина года) [latex]T= \frac{2 \pi R}{v} =\frac{2 \pi R}{ \sqrt{G \frac{M}{R} } } =2 \pi \sqrt{ \frac{R^3}{GM} } \\ T_3=2 \pi \sqrt{ \frac{R_3^3}{GM} } \\ \frac{T_3}{T}= 2 \pi \sqrt{ \frac{R_3^3}{GM} } :2 \pi \sqrt{ \frac{R^3}{GM} } = \sqrt{ \frac{R^3_3}{R^3} } = \sqrt{ (\frac{R_3}{R})^3 } \\ \frac{T_3}{T}= \sqrt{ (\frac{1.5*10^8}{5.8*10^7})^3 } =4.16[/latex] Ответ: в 4,16 раза