Решение дифференциальных уравнений первого порядка.

F(x, y, y ') = 0, где y = y(x) — неизвестная, непрерывно дифференцируема на (a,b) функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Функция y = y(x) называется решением дифференциального уравнения F(x, y, y ') = 0, если она непрерывно дифференцируема на (a,b) и F(x, y(x), y '(x)) ≡ 0 для всех x из (a,b) . График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение 1–го порядка имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия. Задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ' ) = 0 , удовлетворяющего условию y(x0) = y0, называется задачей Коши (или начальной задачей). Условие y(x0) = y0 — начальное условие. Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1–го порядка, называется частным решением уравнения. Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = C, называется общим интегралом уравнения. Частное решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = 0, называется частным интегралом уравнения. Уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, называют уравнением, записанными в нормальной форме: Уравнения первого порядка часто записывают в дифференциальной форме: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0. Решение такого уравнения можно искать как в виде y = y(x) , так и в виде x = x(y) .