Решить дифференциальное уравнение: xy'+y-eˣ=0

Разделим обе части уравнения на х [latex]y'+ \dfrac{y}{x} = \dfrac{e^x}{x} [/latex] Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, неоднородное. Пусть [latex]y=uv[/latex], тогда [latex]y'=u'v+uv'[/latex] [latex]u'v+uv'+ \dfrac{uv}{x} = \dfrac{e^x}{x} \\ \\ \\ u'v+u\bigg(v'+ \dfrac{v}{x}\bigg) =\dfrac{e^x}{x} [/latex] Решение состоит из двух этапов: 1) Предполагаем, что второе слагаемое равен нулю [latex]v'+ \dfrac{v}{x} =0\\ \\ v'=- \dfrac{v}{x} [/latex] Получили уравнение с разделяющимися переменными. По определению дифференциала [latex] \dfrac{dv}{dx} =- \dfrac{v}{x} \\ \\ \dfrac{dv}{v} =-\dfrac{dx}{x} [/latex] Интегрируя обе части уравнения, получаем: [latex]\displaystyle \int\limits {\dfrac{dv}{v} } \,=- \int\limits {\dfrac{dx}{x} } \, \\ \\ \ln|v|=-\ln|x|\\ v= \frac{1}{x} [/latex] 2) Раз предположили что второе слагаемое = 0, то [latex]\displaystyle u'v= \frac{e^x}{x} \\ \\ u'\cdot \frac{1}{x}=\frac{e^x}{x}\\ \\ \\ u'=e^x[/latex] Интегрируя обе части уравнения, получаем: [latex]\displaystyle u= \int\limits {e^x} \, dx =e^x+C[/latex] Выполним обратную замену: [latex]y=uv=\dfrac{e^x+C}{x}[/latex] - общее решение исходного уравнения Ответ: [latex]y=\dfrac{e^x+C}{x}[/latex]