Решить показательное уравнение [latex]\displaystyle 8^{x+2}+15^{x+2}=17^{x+2} [/latex]

Разделим обе части на [latex]15^{x+2}[/latex]: [latex](8/15)^{x+2}+1=(17/15)^{x+2}[/latex] Т.к. 8/15<1, то функция [latex](8/15)^{x+2}+1[/latex] убывает на всей действительной оси. Т.к. 17/15>1, то функция [latex](17/15)^{x+2}[/latex] возрастает на всей действительной оси. Значит графики этих функций пересекаются не более чем в одной  точке, т.е. уравнение может иметь не более одного корня. Легко угадывается корень х=0: 8²+15²=17². Итак ответ: х=0.

Разделим обе части на [latex]15^{x+2}[/latex] : [latex]\displaystyle \left( \frac{8}{15} \right)^{x+2}+1=\left( \frac{17}{15} \right)^{x+2}[/latex] Так как: [latex]\displaystyle \left( \frac{8}{15} \right)\ \textless \ 1[/latex] то функция [latex]\displaystyle \left( \frac{8}{15} \right)^{x+2}[/latex] убывает. Так как: [latex]\displaystyle \left( \frac{17}{15} \right)\ \textgreater \ 1[/latex] то функция [latex]\displaystyle \left( \frac{17}{15} \right)^{x+2}[/latex] возрастает. Значит графики данных функций пересекаются не более чем в одной точке. Это означает, что у уравнения есть единственное решение. Попробуем ограничить значения x на целых числах. То есть: [latex]x\in \mathbb Z[/latex] Теорема Ферма (доказана в 1995) : Для любого целого числа [latex]n[/latex],так что: [latex]n\ \textgreater \ 2[/latex] либо [latex]n\ \textless \ -2[/latex] Уравнение [latex]a^n+b^n=c^n[/latex] не имеет решений в целых ненулевых числах [latex]a,b,c[/latex]. Так как [latex]x\in \mathbb Z[/latex] то решение у данного уравнения может находиться в промежутке: [latex]-2 \leq x+2 \leq 2\\\\-4 \leq x \leq 0[/latex] Проверяя весь промежуток, мы находим что: [latex]x=0 \Rightarrow 8^2+15^2=17^2 \Rightarrow 289=289[/latex]