Решить систему неравенств: [latex] \left \{ {{ \frac{x^3+37}{(x+4)^3} \geq 1+ \frac{1}{(x+4)^2} } \atop { \frac{(x-1)^2+4(x+1)^2}{2} \leq \frac{(3x+1)^2}{4} }} \right. [/latex]

[latex]\begin{cases} \frac{x^3+37}{(x+4)^3} \geq 1+ \frac{1}{(x+4)^2} \\ \frac{(x-1)^2+4(x+1)^2}{2} \leq \frac{(3x+1)^2}{4} \right \end{cases}[/latex] Начинаем решать со второго неравенства: [latex]\frac{(x-1)^2+4(x+1)^2}{2} \leq \frac{(3x+1)^2}{4} \\\ 2(x-1)^2+8(x+1)^2 \leq (3x+1)^2 \\\ 2x^2-4x+2+8x^2+16x+8 \leq 9x^2+6x+1 \\\ 10x^2+12x+10 \leq 9x^2+6x+1 \\\ x^2+6x+9 \leq 0 \\ (x+3) ^2 \leq 0[/latex] Квадрат любого числа неотрицателен, значит единственное возможное условие когда это неравенство будет иметь решения - это равенство нулю левой части: [latex](x+3)^2=0 \\\ x+3=0 \\\ x=-3[/latex] Вывод: если у всей системы и есть какие-то решения, то это только число -3. Остается проверить, удовлетворяет ли это число первому неравенству. Подставляем -3 в первое неравенство: [latex]\frac{(-3)^3+37}{(-3+4)^3} \geq 1+ \frac{1}{(-3+4)^2} \\\ \frac{-27+37}{1^3} \geq 1+ \frac{1}{1^2} \\\ 10 \geq 2[/latex] Получаем верное неравенство. Значит, система имеет единственное решение - число -3. Ответ: -3